设$G$为群,$S$是$G$的子集,$G$中包含$S$上午最小子群叫做由$S$生成的子群,记作$<S>$,即$$<S>=\bigcap_{i}A_{i},S\subset A_{i}$$由于子群之交仍然是子群,这说明包含$S$的子群中确实有最小的.显然若$a\in S$,必然有$a,a^{-1}\in<S>$,因此$$<S>=\left\{a_1\cdots a_m:m\in\mathbb N,a_i\in S\cup S^{-1}\right\}$$若$m=0$,规定$a_1\cdots a_m=1$.我们把$S$称为群$<S>$的生成元系.如果$S$是有限集,那么$<S>$称为有限生成群.特别的如果$S=\{a\}$,即$S$中仅有一个元素,那么$<S>=<a>$称为由$a$生成的循环群.这是最简单的群,下面研究一下循环群的性质:

定理    无限循环群$G$同构于整数加群$\mathbb Z$,$n$阶循环群同构于模$n$的剩余类加法群$\mathbb Z_n$.

定理得证明是显然的,由定理可以看出同阶循环群彼此同构,所以我们只需研究$\mathbb Z$和$\mathbb Z_n$即可.

定理    循环群的子群仍然是循环群,即设$G=<a>$是循环群,那么对任意的$m\in\mathbb N^*$,则$G$恰有一个指数为$m$的子群$\left<a^m\right>$.

1)若$G$是无限循环群,那么$\left<a^m\right>$也是无限循环群,同构于$\mathbb Z$;

2)若$|G|=n<\infty$,那么$\left|\left<a^m\right>\right|=\frac{n}{m}$,且$\left<a^m\right>\simeq\mathbb Z_{\frac{n}{m}}$.

Lagrange定理告诉我们子群的阶数必然是群阶数的因子,但是反过来显然不成立.但是对于有限循环群,Lagrange定理之逆是成立的.

定理    对于循环群$G=<a>$的生成元,我们有:

1)若$G$是无限群,那么群$G$的生成元只有$a$和$a^{-1}$;

2)如果$|G|=n<\infty$,那么$G$有$\varphi(n)$个生成元,$\varphi(n)$表示Euler函数,表示与$n$小且与$n$互素的那些正整数.并且这$\varphi(n)$个表示为$a^k$且$(k,n)=1$.

由此立即得到初等数论中的著名公式，即$$\sum_{d\big|n}\varphi(d)=n$$

证明    根据定理,那么在$\mathbb Z_n$中,对任意的$d\big|n$,存在唯一的$d$阶子群$H=\left<a^{\frac{n}{d}}\right>$,并且其有$\varphi(d)$个生成元,即恰有$\varphi(d)$个$d$阶元素,因此$$\sum_{d\big|n}\varphi(d)=\sum_{d\big| n}\varphi\left(\frac{n}{d}\right)=n$$

最后来求循环群$G$的自同构群$\mathrm{Aut}(G)$. 设$G=<a>$,$f:G\to G,a\mapsto a^m$为自同构，

1)若$|G|=\infty$,那么由于生成元仅有两个,从而$m=\pm 1$,此时${\rm Aut}(G)\simeq\mathbb Z_2$;

2)若$|G|=n<\infty$,那么$G$有$\varphi(n)$个生成元且$(m,n)=1$,此时${\rm Aut}G\simeq\mathbb Z_n^*$.